При доказательствах будем часто пользоваться двумя правилами:
 1. Для произведения. Если хоть  один из сомножителей делится на n
    то и все произведение делится на n.
 2. Для суммы. Если каждое слагаемое делится на n то и вся сумма
    делится на n.
  


Задача 1
 Доказать, что выражение n^3-n всегда делится на 6 (n - целое)
Решение.
Преобразуем исходное выражение:
                           n^3-n
                           n*(n^2-1)
                           n*(n-1)*(n+1)
Получили произведение трех последовательных чисел. Одно из них обязательно
делится на 3 и по меньшей мере одно делится на 2. Значит все выражение
делится на 6. 




Задача 2
 Доказать, что выражение m^3 * n - m * n^3 всегда делится на 6 (m, n -целые)
Решение.
 Рассмотрим выражение (m^3+m)*(n^3-n). Оно делится на 6, поскольку второй
сомножитель делится на 6 (См. задачу 1). Преобразуем его:       
                       (m^3 + m)*(n^3 - n)
                       m^3*n^3 + m*n^3 - m^3*n - m*n
                       ((m*n)^3 - m*n) - (m^3*n - m*n^3)
Поскольку это выражение делится на 6 и первое слагаемое делится на 6 (Зад. 1)
значит и второе слагаемое делится на 6.




Задача 3 
 Доказать, что для любого прямоугольного треугольника с целыми сторонами
 площадь всегда делится на 6. 
Решение.
Иными словами, доказать, что если справедливо выражение x^2+y^2=z^2 
то справедливо также, что произведение катетов x*y делится на 12.

Для пифагоровых троек x= m^2-n^2
                      y= 2*m*n

Поэтому x*y = 2*m*n*(m^2-n^2) = 2 (m^3*n - m*n^3) 
Второй сомножитель делится на 6 (Зад.2), значит все выражение делится на 12.




Задача 4
 Доказать, что выражение n^5-n всегда делится на 30 (n - целое )
Решение.
 Покажем отдельно, что это выражение делится на 6 и это же выражение
 делится на 5. Это будет означать, выражение делится на 30.

  1) Делимость на 6:
 n^5-n = (n^3-n)*(n^2+1) Поскольку первый сомножитель делится на 6 (Зад.1)
 то и все выражение делится на 6.
  2) Делимость на 5:
Рассмотрим выражение (n-1)*n*(n+1)*(n+2)*(n+3).
Это выражение - произведение 5 последовательных чисел. Хоть один сомножитель
делится на 5. И стало быть все выражение делится на 5.
 Перемножим все и приведем подобные.
           n^5 - 5*n^4 + 5*n^3 - 5*n^2 - 6*n
 Распишем 6*n как 5*n + n и вынесем пятерку.
           (n^5-n) + 5*(n^3-n^4-n^2 -n)
 Поскольку все выражение делится на 5 и второе слагаемое делится на 5,
 то и первое слагаемое делится на 5.

 Таким образом выражение n^5-n делится и на 5 и на 6, значит на 30.




Задача 5
 Доказать, что выражение m^5 * n - m * n^5 всегда делится на 30 (m, n -целые)
Решение.
 Очень похоже на задачу 2.
 Рассмотрим выражение (m^5+m)*(n^5-n). Оно делится на 30, поскольку второй
сомножитель делится на 30 (См. задачу 4). Преобразуем его:       
                       (m^5 + m)*(n^5 - n)
                       m^5*n^5 + m*n^5 - m^5*n - m*n
                       ((m*n)^5 - m*n) - (m^5*n - m*n^5)
Поскольку это выражение делится на 30 и первое слагаемое делится на 30 (Зад.4)
значит и второе слагаемое делится на 30.





Задача 6 
 Доказать, что для любого прямоугольного треугольника с целыми сторонами
 произведение сторон всегда делится на 60.
Решение.
Иными словами, доказать, что если справедливо выражение x^2+y^2=z^2 
то справедливо также, что x*y*z делится на 60.

Для пифагоровых троек x= m^2-n^2
                      y= 2*m*n
                      z= m^2+n^2

Поэтому x*y*z = 2*m*n*(m^2-n^2)*(m^2+n^2) = 2 (m^5*n - m*n^5) 
Второй сомножитель делится на 30 (Зад.5), значит все выражение делится на 60.

Из этого есть интересное следствие. В пифагоровых тройках хотя бы одно
число кратно 5. Это мы тоже заодно доказали. Поскольку x*y*z делится на 60,
значит хотя бы одна из сторон делится на 5.





Задача 7
 Доказать, что для произвольного треугольника с целыми сторонами и целой
 площадью эта площадь всегда делится на 6
  Надо сказать, что эту задачу я сам еще не решил, но моделирование на
 компьютере показывает, что так оно и есть. Создается впечатление что
 все такие треугольники всегда могут быть выражены через прямоугольные 
 треугольники с целыми сторонами.
 





Назад|На главную