При доказательствах будем часто пользоваться двумя правилами:
1. Для произведения. Если хоть один из сомножителей делится на n
то и все произведение делится на n.
2. Для суммы. Если каждое слагаемое делится на n то и вся сумма
делится на n.
Задача 1
Доказать, что выражение n^3-n всегда делится на 6 (n - целое)
Решение.
Преобразуем исходное выражение:
n^3-n
n*(n^2-1)
n*(n-1)*(n+1)
Получили произведение трех последовательных чисел. Одно из них обязательно
делится на 3 и по меньшей мере одно делится на 2. Значит все выражение
делится на 6.
Задача 2
Доказать, что выражение m^3 * n - m * n^3 всегда делится на 6 (m, n -целые)
Решение.
Рассмотрим выражение (m^3+m)*(n^3-n). Оно делится на 6, поскольку второй
сомножитель делится на 6 (См. задачу 1). Преобразуем его:
(m^3 + m)*(n^3 - n)
m^3*n^3 + m*n^3 - m^3*n - m*n
((m*n)^3 - m*n) - (m^3*n - m*n^3)
Поскольку это выражение делится на 6 и первое слагаемое делится на 6 (Зад. 1)
значит и второе слагаемое делится на 6.
Задача 3
Доказать, что для любого прямоугольного треугольника с целыми сторонами
площадь всегда делится на 6.
Решение.
Иными словами, доказать, что если справедливо выражение x^2+y^2=z^2
то справедливо также, что произведение катетов x*y делится на 12.
Для пифагоровых троек x= m^2-n^2
y= 2*m*n
Поэтому x*y = 2*m*n*(m^2-n^2) = 2 (m^3*n - m*n^3)
Второй сомножитель делится на 6 (Зад.2), значит все выражение делится на 12.
Задача 4
Доказать, что выражение n^5-n всегда делится на 30 (n - целое )
Решение.
Покажем отдельно, что это выражение делится на 6 и это же выражение
делится на 5. Это будет означать, выражение делится на 30.
1) Делимость на 6:
n^5-n = (n^3-n)*(n^2+1) Поскольку первый сомножитель делится на 6 (Зад.1)
то и все выражение делится на 6.
2) Делимость на 5:
Рассмотрим выражение (n-1)*n*(n+1)*(n+2)*(n+3).
Это выражение - произведение 5 последовательных чисел. Хоть один сомножитель
делится на 5. И стало быть все выражение делится на 5.
Перемножим все и приведем подобные.
n^5 - 5*n^4 + 5*n^3 - 5*n^2 - 6*n
Распишем 6*n как 5*n + n и вынесем пятерку.
(n^5-n) + 5*(n^3-n^4-n^2 -n)
Поскольку все выражение делится на 5 и второе слагаемое делится на 5,
то и первое слагаемое делится на 5.
Таким образом выражение n^5-n делится и на 5 и на 6, значит на 30.
Задача 5
Доказать, что выражение m^5 * n - m * n^5 всегда делится на 30 (m, n -целые)
Решение.
Очень похоже на задачу 2.
Рассмотрим выражение (m^5+m)*(n^5-n). Оно делится на 30, поскольку второй
сомножитель делится на 30 (См. задачу 4). Преобразуем его:
(m^5 + m)*(n^5 - n)
m^5*n^5 + m*n^5 - m^5*n - m*n
((m*n)^5 - m*n) - (m^5*n - m*n^5)
Поскольку это выражение делится на 30 и первое слагаемое делится на 30 (Зад.4)
значит и второе слагаемое делится на 30.
Задача 6
Доказать, что для любого прямоугольного треугольника с целыми сторонами
произведение сторон всегда делится на 60.
Решение.
Иными словами, доказать, что если справедливо выражение x^2+y^2=z^2
то справедливо также, что x*y*z делится на 60.
Для пифагоровых троек x= m^2-n^2
y= 2*m*n
z= m^2+n^2
Поэтому x*y*z = 2*m*n*(m^2-n^2)*(m^2+n^2) = 2 (m^5*n - m*n^5)
Второй сомножитель делится на 30 (Зад.5), значит все выражение делится на 60.
Из этого есть интересное следствие. В пифагоровых тройках хотя бы одно
число кратно 5. Это мы тоже заодно доказали. Поскольку x*y*z делится на 60,
значит хотя бы одна из сторон делится на 5.
Задача 7
Доказать, что для произвольного треугольника с целыми сторонами и целой
площадью эта площадь всегда делится на 6
Надо сказать, что эту задачу я сам еще не решил, но моделирование на
компьютере показывает, что так оно и есть. Создается впечатление что
все такие треугольники всегда могут быть выражены через прямоугольные
треугольники с целыми сторонами.
Назад|На главную